Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №39

Просмотров 8 Комментарии 0

а) Решите уравнение $√ - 2(3π ) 2 3cos 2 +x − sin 2x =0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[1,5π;3π].$

а) По формуле приведения $(3π ) cos 2 + x =sin x$ , по формуле синуса двойного угла $sin2x= 2sinxcosx$ , следовательно, уравнение примет вид

√- 2 √ - [sinx =0 2 3sin x− 2sinx cosx= 0 ⇔ 2sinx( 3sinx− cosx)= 0 ⇔ √3sinx − cosx= 0

Решением первого уравнения совокупности являются $x= πn,n∈ ℤ$ .

Второе уравнение является однородным первой степени (подробнее вы можете ознакомиться с этим в нашем разделе “Теоретическая справка” $→$ “Решение уравнений. Часть II” $→$ “Основные виды тригонометрических уравнений”) и решается делением обеих частей, например, на $sinx$ :

√ - π 3− ctgx= 0 ⇔ x= 6 +πm,m ∈ ℤ.

б) Отберем корни.

$1,5π ≤ πn≤ 3π ⇔ 1,5≤ n≤ 3 ⇒ n= 2; 3 ⇒ x =2π; 3π.$

$π 4 17 13π 1,5π ≤ 6 +πm ≤ 3π ⇔ 3 ≤ m ≤ 6 ⇒ m = 2 ⇒ x = 6-.$