Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №38

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{(x− 3)(y+ 3x − 9)= |x− 3|3 y = x+ a

имеет ровно четыре различных решения.

Подставив второе уравнение системы в первое, получим

3 (x− 3)(4x+ a− 9)= |x− 3|

Полученное уравнение с модулем равносильно совокупности

⌊{ (x − 3)(4x+ a− 9− (x− 3)2)= 0 | |||{ x− 3≥ 0 |⌈ (x − 3)(4x+ a− 9+ (x− 3)2)= 0 x− 3< 0 ⌊{ (x − 3)(x2− 10x+ 18− a)= 0 || x≥ 3 (1) ||{ |⌈ (x − 3)(x2− 2x+ a)= 0 (2) x< 3

Тогда исходная система имеет четыре решения в одном из нижеследующих случаев.

Случай 1. Система (1) имеет три решения и система (2) имеет одно решение.

Случай 2. Система (1) имеет два решения и система (2) имеет два решения.

Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Случай 1.

Cистема (1) имеет три решения, если уравнение $x2− 10x + 18− a= 0$ имеет два корня и оба корня больше 3.

Обозначим $2 f(x)= x − 10x+ 18− a.$ Тогда имеем систему:

Отсюда имеем Система (2) имеет одно решение, если выполнено одно из условий а) или б). а) Уравнение имеет один корень и этот корень меньше 3. Тогда имеем систему: Отсюда имеем б) Уравнение имеет два корня и эти корни находятся по разные стороны от 3 либо один корень равен 3, а другой корень левее 3. Обозначим Тогда имеем систему: Отсюда имеем Пересекая множества и получим Случай 2. Система (1) имеет два решения, если уравнение имеет один корень и этот корень больше 3, либо если это уравнение имеет два корня, при этом меньший находится левее 3 или совпадает. Это верно, так как если уравнение имеет 2 корня, то больший из них находится правее вершины параболы, то есть правее Отсюда имеем Система (2) имеет два решения, если уравнение имеет два корня и оба корня меньше 3. Отсюда имеем Пересекая множества и получим Тогда, объединив значения параметра из случаев 1 и 2, получим окончательно

из прошлых лет