Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №37

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

{ y2+ x− 2= |x2+ x− 2| x− y =a

имеет более двух решений.

Данная система равносильна уравнению

2 2 (x− a) + x− 2= |x + x− 2|

Тогда имеем совокупность двух систем

$pict$

Заметим, что вся совокупность будет иметь более двух решений в одном из следующих случаев.

1) $a= 0.$ Тогда уравнение $a⋅(2x − a)= 0$ имеет решение $x∈ ℝ,$ а вся система $I$ — решение

x∈ (−∞; −2)∪(1;+∞ )

Следовательно, и вся совокупность имеет бесконечное множество решений.

2) При всех $a⁄= 0$ уравнение $a⋅(2x − a) =0$ имеет одно решение $x= a , 2$ а вся система $I$ будет иметь одно решение, если

a∈ (−∞; −2)∪ (1;+∞ ) 2

В противном случае система $I$ не будет иметь решений.

Система $II$ может иметь 0, 1 или 2 решения. Таким образом, вся совокупность будет иметь более двух решений, когда система $I$ имеет одно решение, а система $II$ — два решения, и эти решения различны.

Введем обозначение

2 a2 f (x)= x + (1− a)x+ 2 − 2

Тогда имеем систему:

(| ⌊a |||| |2 <− 2 |||| ⌈a ||||| 2 >1 2 |||| D =9 − 2a − a >0 ||{ f(− 2)≥ 0 | ||||| f(1)≥ 0 |||| −2< − 1−-a< 1 (верш ина параболы f(x) находится в пром еж утке (−2;1)) ||||| (a) 2 |||| f 2 ⁄= 0 (корень систем ы I не совпадает ни с одним из корней системы II) |( a⁄= 0

Тогда исходная система имеет более двух решений при

( ) a∈ {0} ∪ 2;−1 +√10-

из прошлых лет