Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №34

К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках $A$ и $B.$ Через точку $C,$ лежащую на отрезке $AB,$ проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках $D$ и $E,$ причем отрезки $CA$ и $CD$ касаются одной окружности, а отрезки $CB$ и $CE$ – другой.

а) Докажите, что периметр треугольника $CDE$ вдвое больше расстояния между центрами окружностей.

б) Найдите $DE,$ если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а $AC =8.$

а) Пусть $O$ и $Q$ – центры данных окружностей, $r$ – радиусы. Обозначим точки касания окружностей со второй касательной (параллельной $AB$ ) за $A1$ и $B1$ . Т.к. $OA ⊥AB$ , $OA1 ⊥ A1B1$ , $AB ∥A1B1$ , то отрезки $OA$ и $OA1$ лежат на одной прямой. Аналогично можно сказать про $QB$ и $QB1$ . Следовательно, $AA1 ⊥AB$ , $BB1 ⊥ AB$ , и, вообще говоря, $AA1B1B$ – прямоугольник (противоположные стороны попарно параллельны и углы по $90∘$ ).
Т.к. $O,Q$ – середины отрезков $AA1$ и $BB1$ соответственно, то $OQ ∥ AB$ , следовательно, $OQ =AB$ .
Значит, необходимо доказать, что $P △CDE = 2AB$ .

$PIC$

Т.к. отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, то $CA = CA2 = x$ , $DA1 = DA2 = y$ , $CB =CB2 = z$ , $EB1 = EB2 = t$ .
Тогда

P△CDE = CD + DE + EC = x+ y +DE +t+ z =(x+ z)+ (y+ DE + t) =AB +A1B1 = 2AB.

б) Из условия следует, что $x = 8$ , $z = 10$ .
$DE =A1B1 − y− t= 18− y− t$ . Найдем $y$ и $t$ .

$PIC$

Проведем отрезки $OC$ и $OD$ – они являются биссектрисами углов $C$ и $D$ соответственно (по свойству окружности, вписанной в угол). Т.к. $AC ∥A1D$ , то $∠ACD + ∠A1DC = 180∘$ как односторонние, следовательно, $∠OCD + ∠ODC = 12 ⋅180∘ = 90∘$ .
Таким образом, $△DOC$ прямоугольный ( $∠O = 90∘$ ).

Из прямоугольного $△OAC$ :