Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №33

Просмотров 5 Комментарии 0

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH.$ Из точки $H$ на стороны $AB$ и $BC$ опустили перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC.$

б) Найдите отношение площади треугольника $BMK$ к площади четырехугольника $AKMC,$ если $BH =4,$ а радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 5.

а) Докажем, что $∠BAC =∠BMK$ . Из этого будет следовать, что по двум углам $△ABC ∼ △MBK$ , так как $∠ABC$ у них общий.
$PIC$

Обозначим $∠BAC =α$ . Тогда

∠AHK = 90∘ − α ⇒ ∠BHK = 90∘− (90∘− α)= α

Заметим, что в четырехугольнике $KBMH$ сумма противоположных углов $∠K$ и $∠M$ равна $180∘$ , следовательно, около него можно описать окружность. Углы $∠BHK$ и $∠BMK$ — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, то есть $∠BMK = α$ . Что и требовалось доказать.

б) Найдем отношение $S△BMK$ к $S△ABC$ , а из этого уже найдем отношение $S△BMK$ к $SAKMC$ . Обозначим $∠C = β$ . Тогда аналогично первому пункту $∠BHM =β$ .