В квадрат 
вписана окружность, к которой проведена касательная, пересекающая стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что периметр 
равен 
б) В каком отношении делит сторону 
прямая, проходящая через точку 
и центр окружности, если 
и 
— точка пересечения прямых 
и 
а) Обозначим за 
точки касания окружности с 
соотвественно.
Заметим, что 
и 
— касательные к окружности, проведенные из одной точки, следовательно, отрезки касательных 
и 
равны. То же самое можно сказать про 
Таким образом,
Заметим, что так как окружность вписана в квадрат, то она касается сторон квадрата в их серединах. Тогда 
— середины сторон 
и 
соответственно и получаем
б) Обозначим сторону квадрата за 
Тогда из условия задачи следует, что
Следовательно,
Обозначим также 
Тогда из подобия 
и 
следует, что
Заметим, что отрезки касательных 
и 
равны. Следовательно,
Заметим также, что
Таким образом, отношение подобия выше можно переписать в виде
Из данных равенств можно выразить 
и 
через 
Пусть 
— биссектриса угла 
как прямая, проходящая через центр окружности.
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
Тогда 
с коэффициентом подобия 2, следовательно,
Далее, так как биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то
Следовательно,
Тогда окончательно имеем:
