Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №31

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $30$ , а боковое ребро $SA$ равно $28$ . Точки $M$ и $N$ – середины ребер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $α$ содержит прямую $M N$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $α$ делит медиану основания $CE$ в отношении $5 : 1$ , считая от точки $C$ .

б) Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $α$ .

а) Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Проведем прямую, принадлежащую плоскости $α$ и перпендикулярную плоскости основания.
$SE$ – медиана боковой грани, $K$ – точка пересечения $M N$ и $SE$ , $SO$ – высота пирамиды (по свойству правильной пирамиды высота падает в точку пересечения медиан основания). Рассмотрим плоскость $CSE$ . Проведем в ней прямую $KH ∥ SO$ . Тогда $KH$ так же, как и $SO$ , будет перпендикулярна $(ABC )$ . Следовательно, плоскость $M HN$ и есть плоскость $α$ .

$PIC$

Построим сечение пирамиды этой плоскостью.
Плоскость $α$ пересечет плоскость $(ABC )$ по прямой $P R$ , параллельной $AB$ , а значит и $M N$ . Действительно, если $P R$ не параллельно $M N$ , то они пересекаются. Следовательно, $M N$ пересекает и плоскость $ABC$ , что невозможно, т.к. $M N ∥ (ABC )$ по признаку (т.к. $M N ∥ AB$ ). Таким образом, $M N PR$ – сечение пирамиды плоскостью $α$ .

Заметим, что $K$ – середина $SE$ . По теореме Фалеса

OH SK 1 ---- = ---- = 1 ⇒ HE = -OE. HE KE 2

Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины треугольника, то $1 OE = 2CO$ . Следовательно, $1 HE = 4CO$ . Следовательно, $CO = 4HE$ , следовательно, $CH = 4HE + OH = 4HE + HE = 5HE$ , откуда следует утверждение пункта а).

б) Прямая $AB$ параллельна плоскости $α$ (т.к. $AB ∥ P R$ ), следовательно, расстояние от любой точки прямой $AB$ до плоскости $α$ одинаково. Поэтому будем искать это расстояние как расстояние от точки $E$ . Докажем, что $EH$ и есть искомое расстояние.
Во-первых, $HE ⊥ AB$ , $AB ∥ PR$ , следовательно, $HE ⊥ P R$ . Во-вторых, т.к. $KH ⊥ (ABC )$ , то $KH ⊥ HE$ . Таким образом, мы нашли две пересекающиеся прямые в плоскости $α$ ( $P R$ и $KH$ ), перпендикулярные $EH$ . Следовательно, по признаку $EH ⊥ α$ .