Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №30

Просмотров 6 Комментарии 0

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ все ребра равны 5. На его ребре $BB1$ отмечена точка $K$ так, что $KB = 3.$ Через точки $K$ и $C1$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

а) Докажите, что $A1P :PB1 =1 :2,$ где $P$ — точка пересечения плоскости $α$ с ребром $A1B1.$

б) Найдите угол наклона плоскости $α$ к плоскости грани $BB1C1C.$

а) Прямая параллельна плоскости, если плоскость содержит прямую, параллельную данной. Поэтому проведем в плоскости $BB1D1,$ содержащей $BD1,$ прямую $KN ∥ BD1.$

Пусть $N$ — точка пересечения с отрезком $B1D1.$ Соединив точки $C1$ и $N,$ получим прямую, пересекающую $A1B1$ в точке $P.$

Так как $KN ∥BD1,$ то по теореме Фалеса

B1N- B1K- 2 ND1 = KB = 3

$PIC$

Теперь рассмотрим грань $A1B1C1D1.$ Так как $△NB1P ∼ △ND1C1,$ то

PB1--= B1N-= 2 ⇒ PB1 = 2C1D1 = 2A1B1 C1D1 ND1 3 3 3

Следовательно,

1 A1P = 3A1B1 ⇒ A1P :PB1 =1 :2

б) Для того, чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо построить линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Так как $KC 1$ — линия пересечения этих плоскостей, то опустим перпендикуляр $PH$ на $KC1.$

Поскольку $P B1 ⊥ (BB1C1)$ и наклонная $P H ⊥ KC1,$ то по теореме о трех перпендикулярах проекция $B1H ⊥ KC1.$ Следовательно, по определению $∠PHB1$ — линейный угол двугранного угла, образованного данными плоскостями. Его и нужно найти.