Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №29

Просмотров 6 Комментарии 0

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ все ребра равны 5. На его ребре $BB1$ отмечена точка $K$ так, что $KB = 3.$ Через точки $K$ и $C1$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

а) Докажите, что $A1P :PB1 =1 :2,$ где $P$ — точка пересечения плоскости $α$ с ребром $A1B1.$

б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $α.$

а) Прямая параллельна плоскости, если плоскость содержит прямую, параллельную данной. Поэтому проведем в плоскости $BB1D1$ , содержащей $BD1$ , прямую $KN ∥ BD1$ . Пусть $N$ – точка пересечения с отрезком $B1D1$ .

$PIC$

Соединив точки $C1$ и $N$ , получим прямую, пересекающую $A1B1$ в точке $P$ .

Т.к. $KN ∥ BD1$ , то по теореме Фалеса

B1N-= B1K- = 2. ND1 KB 3

Теперь рассмотрим грань $A1B1C1D1$ . $△NB1P ∼ △ND1C1$ , следовательно,

PB1 B1N 2 2 2 C1D1-= ND1-= 3 ⇒ PB1 = 3C1D1 = 3A1B1.

Следовательно, $1 A1P = 3A1B1$ и $A1P :PB1 =1 :2$ .

б) Для того, чтобы найти объем большей из частей, на которые плоскость поделила куб, найдем объем куба и вычтем из него объем пирамиды $P B1KC1$ .
Заметим, что если рассматривать эту пирамиду как пирамиду с вершиной $P$ и основанием $B KC 1 1$ , то она является прямоугольной ( $PB1 ⊥ (B1KC1 )$ ). То есть $PB1$ – ее высота, $△B1KC1$ – основание, являющееся прямоугольным треугольником.