Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №27

Точка $P$ лежит на стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD,$ причём $A$ и $B$ — вершины равнобедренных треугольников с основаниями $PD$ и $P C$ соответственно. При этом $PD ⊥ P C.$

а) Докажите, что биссектрисы углов $∠DAP$ и $∠P BC$ пересекаются на стороне $CD.$

б) Пусть $Q$ — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых $AQ,$ $P D,$ $P C,$ $QB,$ если известно, что $AP :AB = 2:9$ и $SABCD = 1.$

а) Пусть $Q$ — точка пересечения биссектрисы угла $DAP$ со стороной $CD.$ Пусть $S$ — точка пересечения $AQ$ и $PD.$ Так как $DA =AP$ , то $AQ$ содержит медиану и высоту в треугольнике $DAP,$ откуда следует, что $AQ ⊥ DP$ и $S$ — середина $DP.$

Таким образом, $QS$ — медиана и высота в треугольнике $QP D,$ следовательно, треугольник $QP D$ равнобедренный и $P Q= QD.$

$PIC$

Далее, треугольник $DP C$ — прямоугольный. Предположим, что некоторая точка $′ Q ⁄= Q$ — середина $CD.$ Тогда $′ ′ P Q = DQ ,$ так как $PQ ′$ — медиана, проведённая к гипотенузе, следовательно, $∠P DQ = ∠DP Q ′.$

Но $∠PDQ = ∠DP Q,$ следовательно, точки $P,$ $Q$ и $Q ′$ лежат на одной прямой, то есть $Q ′$ лежит на $P Q,$ а также $Q ′$ лежит на $CD.$ Так как две несовпадающие прямые могут иметь не более одной общей точки, то наше предположение неверно и $Q$ — середина $CD.$

Тогда $P Q =QC,$ следовательно, $△P QB = △CQB$ по трём сторонам. Отсюда получаем, что $QB$ — биссектриса угла $P BC,$ то есть $Q$ — точка пересечения биссектрис углов $DAP$ и $P BC.$

Так как двух точек пересечения у несовпадающих прямых быть не может, то биссектрисы углов $DAP$ и $PBC$ пересекаются в точке $Q$ на стороне $CD.$

б) В четырёхугольнике $P SQT$ имеем:

∠SP T = 90∘ = ∠PSQ = ∠P TQ

Cледовательно,

∠SQT = 360∘− 270∘ = 90∘

Тогда $P SQT$ — прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ASP$ и $AQB.$ У них $∠BAQ$ — общий, следовательно, эти треугольники подобны по острому углу. Тогда имеем отношение подобия