Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №24

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры. Например, число 16 заменили на число 61.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Пусть $i−$ ое выписанное число имеет вид $10⋅ai+bi,$ где $ai,bi ∈ {1,2,...,9}.$ Для суммы $bi$ по всем значениям индекса $i,$ таким что слагаемое $bi$ есть этой в сумме, используем обозначение $Σbi. i$

Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид

Σi(10ai+ bi) =10 ⋅Σiai+Σibi

Обозначим $A = Σiai,$ $B = Σibi,$ тогда $2970 = 10⋅A+ B.$

После смены мест цифр $i−$ ое полученное число имеет вид $10⋅bi+ ai.$ Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид

Σ(10bi+ ai)= 10⋅Σ bi+ Σai = 10⋅B + A i i i

а) Уменьшение суммы в 3 раза равносильно тому, что новая сумма равна $2970 = 990, 3$ что равносильно $10 ⋅B + A = 990.$

Рассмотрим систему

{ 10⋅A+ B = 2970 A+ 10⋅B = 990

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что $9 ⋅A − 9⋅B = 1980,$ откуда $A =220+ B.$ Подставляя это в первое уравнение системы, находим $B = 70,$ тогда $A = 290.$

Попробуем брать 9 в качестве $ai,$ пока их сумма не превосходит 290 — так можно положить

a1 = ...= a32 = 9, a33 = 290− 32⋅9= 2,

то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить

b1 = ...= b32 =2, b33 = 70 − 32 ⋅2 = 6

б) Уменьшение суммы в 5 раза равносильно тому, что новая сумма равна $2970 5 = 594,$ что равносильно $10 ⋅B + A = 594.$

Рассмотрим систему

{ 10⋅A+ B = 2970 A+ 10⋅B = 594

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что $9 ⋅A − 9⋅B = 2376,$ откуда $A =264+ B.$ Подставляя это в первое уравнение системы, находим $B = 30,$ тогда $A = 294.$

Так как $B = 30,$ а все $bi ≥ 1,$ то слагаемых в сумме не более 30, но тогда $A ≤30⋅9 = 270.$ Следовательно, при $B = 30$ не может быть выполнено $A =294.$

в) Пусть сумма полученных чисел равна $S,$ что равносильно системе

{ 10⋅A+ B = 2970 A+ 10⋅B = S

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что $9 ⋅A − 9⋅B = 2970 − S,$ откуда

S- A = 330 − 9 +B

Подставляя это в первое уравнение системы, находим

10⋅S- B = 99 − 30

Отсюда в частности следует, что $S$ делится на 99.

Покажем, что $B > 30. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-704-43.svg» width=»auto»> Действительно, так как все <img decoding=$ то при не более чем 30 слагаемых сумма исходных чисел не превзойдёт $30⋅90+ 30= 30⋅91< 2970.$ Тогда

Отсюда делится на 99, тогда При получим откуда Аналогично примеру из пункта а) построим решение. Попробуем брать 9 в качестве пока их сумма не превосходит 293 — так можно положить то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить Тогда искомая сумма