Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №23

Просмотров 5 Комментарии 0

Строительство нового аквапарка стоит 40 млн рублей. Затраты на обслуживание $x$ тысяч посетителей составляют $2x2+ 5x+ 3,5 3$ млн рублей в год. Если билеты продавать по цене $P$ тыс. рублей за штуку, то прибыль аквапарка в млн рублей за один год составит $Px − (23x2+ 5x+ 3,5).$ Когда аквапарк будет построен, он будет принимать посетителей в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей (желающих будет предостаточно). При каком наименьшем значении $P$ строительство аквапарка окупится не более чем за 4 года?

Так как строительство аквапарка должно окупиться не более чем за 4 года, то прибыль за 4 года должна составить не менее 40 млн руб. То есть цена $P$ должна быть такой, чтобы существовало какое-нибудь решение неравенства

( ) ( ) 4(Px − 2x2+ 5x +3,5 )≥ 40 ⇔ Px − 2x2+ 5x +3,5 ≥10 3 3 − 2x2+ (P − 5)x− 3,5 ≥ 10 ⇔ 2x2− (P − 5)x+ 13,5 ≤ 0 3 3

График левой части последнего неравенства при всяком фиксированном $P$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Тогда у последнего неравенства есть решение тогда и только тогда, когда вершина соответствующей параболы лежит не выше оси $Ox,$ то есть $yв ≤ 0:$

2⋅(0,75(P − 5))2− (P − 5)⋅(0,75(P − 5))+ 13,5≤ 0 3

Это равносильно

3 8(P − 5)2 ≥ 13,5 ⇔ (P − 5)2 ≥36

Отсюда с учётом условия $P > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-698-8.svg» width=»auto»> получим <img decoding=$

Таким образом, минимальная цена билета, при которой аквапарк имеет шанс окупиться за 4 года (при наличии достаточного количества желающих его посетить), составляет $P = 11$ тыс. рублей.