Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №22

Просмотров 6 Комментарии 0

Компании N принадлежат две шахты в разных городах. В шахтах добываются абсолютно одинаковые минералы, но в шахте, расположенной в первом городе, используется более современное оборудование. В результате, если рабочие первой шахты трудятся суммарно $t2$ часов в день, то за день они добывают $8t$ единиц минералов, а рабочие второй шахты за те же $t2$ часов в день добывают $6t$ единиц минералов. За каждый час работы компания $N$ платит каждому своему рабочему по $100$ рублей. Компания готова выделять $1000000$ рублей в день на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц минералов можно добыть за день на этих двух шахтах?

Компания N готова оплачивать $10000$ часов в день.
Пусть $x2$ часов в день суммарно трудятся рабочие первой шахты,
Пусть $y2$ часов в день суммарно трудятся рабочие второй шахты, тогда

2 2 x + y = 10000.

Обозначим за $S$ количество суммарно добытых за день единиц минералов, тогда

S = 8x+ 6y

Так как $y = √10000-− x2$ , то

∘ --------- S(x)= 8x+ 6 10000− x2.

ОДЗ: $x∈ [− 100;100]$ . Необходимо найти наибольшее значение функции $S(x)$ при $x∈ [0;100]$ .

′ x S (x)= 8− 6⋅√10000−-x2-= 0

Критические точки функции $S(x)$ – это внутренние точки её области определения, в которых её производная равна $0$ или не определена. $S ′(x)= 0$ при $x= 80$ .

Найдём промежутки возрастания/убывания $S (x)$ на $[0;100]$ :

$PIC$

то есть $x =80$ точка локального максимума. Кроме того, $S′(x)$ не определена при $x = ±100$ . Легко убедиться, что среди этих $x$ , попадающих на отрезок $[0;100]$ , наибольшее значение $S(x)$ достигается при $x = 80$ . Более того, $S (80)> S(0) » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-697-27.svg» width=»auto»>, следовательно, <img decoding=$ – наибольшее значение функции $S (x)$ на отрезке $[0;100]$ .

S (80)= 640+ 360= 1000.