Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №21

15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
$∙$ 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на $y%$ по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
$∙$ со 2-ого по 14-ое числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга в виде платежа банку;
$∙$ 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат по кредиту превысила сумму кредита на $30%$ процентов. Найдите $y$ .

Фраза “долг должен быть на одну и ту же сумму меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, т.к. кредит взят на 11 месяцев, то эта “одна и та же сумма”, на которую уменьшается долг каждый месяц, равна $1- 11$ части от суммы кредита. Обозначим сумму кредита за $A$ и составим таблицу.
Так как каждый месяц долг увеличивается на $y%$ , то в первый месяц долг увеличится на $0,01y ⋅ A$ рублей, то есть составит $A + 0,01yA$ рублей.
После выплаты долг должен уменьшиться на $-1A 11$ рублей, то есть должен составить $10A 11$ рублей. Значит, выплата в первый месяц будет равна $A + 0,01yA − 10A = 0,01yA + -1A 11 11$

|----------------|---------------------------|----------------------|-------------------| |Н ом ер месяца |Дол г п осле начи сления % |Д олг после вы пла ты | Вы пла&#x |1---------------|------A-+--0,01y-⋅ A-------|---------11A----------|-0,01y-⋅-A-+-11A---| |2---------------|----1101A-+--0,01y-⋅ 1101A-----|---------911A----------|0,01y-⋅-1101A-+-111A--| |3 | -9A + 0,01y ⋅ 9-A | 8-A |0,01y ⋅ 9-A + -1A | |----------------|----11------------11-------|---------11-----------|--------11----11---| |...-------------|-----2------...---2--------|---------.1..----------|--------.2..----1---| |10--------------|----11A-+--0,01y-⋅11A------|---------11A----------|0,01y-⋅-11A-+-11A--| -11-------------------111A-+--0,01y-⋅ 111A----------------0------------0,01y-⋅-111A-+-111A--|

Заметим, что все выплаты состоят из двух частей, причем часть $-1 11A$ фиксирована.
По условию общая сумма выплат $R$ превысила на $30%$ сумму кредита $A$ . Это значит, что переплата по кредиту $R − A$ составила $30%$ от $A$ . Найдем общую сумму выплат:

$( -1 ) ( 10 1- ) ( -9 1- ) R = 0, 01y ⋅ A + 11A + 0,01y ⋅11A + 11A + 0,01y ⋅11A + 11A + ⋅⋅⋅+$

$( ) ( ) + 0, 01y ⋅ 211A + 111A + 0,01y ⋅111A + 111A =$

$= 0,01y ⋅ A (1 + 10+ 9-+ ⋅⋅⋅ + -2+ 1-) + 11 ⋅ 1-A 11 11 11 11 11$

В скобках — сумма 11 членов арифметической прогрессии, где $1 a1 = 11, a11 = 1$ . По формуле суммы арифметической прогрессии $a1-+-a11 S11 = 2 ⋅ 11$ , значит,

$( ) R = 0,01y ⋅ A ⋅ 12 111 + 1 ⋅ 11 + A = 0,06yA + A$
Тогда $R − A = 0,06yA$ . Так как переплата составила $30%$ от $A$ , то

R − A 0,06yA ---A---⋅ 100% = 30% ⇒ ---A----= 0, 3 ⇒ y = 5