Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №197

Просмотров 6 Комментарии 0

В окружности проведены хорды $PQ$ и $CD,$ причем $PQ = PD = CD =12,$ $CQ = 4.$ Найдите $CP.$

Необходимо разобрать все возможные случаи порядка расположения точек $P$ , $Q$ , $C$ и $D$ на окружности. Возьмем три точки $P$ , $Q$ и $D$ . Заметим, что для трех точек все возможные порядки расположения на окружности могут отличаться только направлением (по или против часовой стрелки), но такие нам тоже нет смысла считать различными.

Тогда расположим три точки $P$ , $Q$ и $D$ на окружности. Они разобьют окржность на три дуги. Разберем три случая возможного положения точки $C$ на каждой из этих дуг.

I случай: $C$ лежит на дуге $PD$ , не содержащей точку $Q$ .

$PIC$

По условию $PQ = PD ⇒$ треугольник $QPD$ — равнобедренный $⇒$ угол $DQP$ при его основании меньше $90$ $∘$ .

По условию $CD = PD ⇒$ треугольник $CPD$ — равнобедренный $⇒$ угол $P CD$ при его основании меньше $90$ $∘$ .

При этом четырехугольник $QP CD$ — вписанный и сумма углов $DQP$ и $PCD$ должна быть равно $180$ $∘$ . Получили противоречие, такой порядок точек невозможен.