Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №195

Просмотров 6 Комментарии 0

Радиусы окружностей с центрами $O 1$ и $O 2$ равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой $O1O2,$ если $O1O2 = 21.$

Окружность, касающаяся двух данных, может касаться прямой либо на отрезке между окружностями, либо на продолжении прямой за меньшую из окружностей. Ключевой идеей в задаче является лемма, приведенная ниже.

__________________________________________________________________________________________________

$PIC$

Лемма 1. Пусть есть окружность и точка $A$ вне ее. Через точку $A$ проведена касательная $AK$ к окружности, а также прямая, пересекающая окружность в двух точках $B$ и $C$ . Тогда $AB ⋅AC = AK2$ .

Доказательство. $∠KCB =∠AKB$ , т.к. угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Тогда $△AKB ∼ △ACK$ по двум углам (т.к. $∠A$ общий). Запишем подобие

AB- = AK-⇔ AB ⋅AC =AK2 AK AC

__________________________________________________________________________________________________

$K$ — точка касания $O O 1 2$ и третьей окружности. Обозначим $O K = x 1$ , $r$ — искомый радиус окружности с центром в $I$ . Очевидно, что линии центров $O1I$ и $O2I$ проходят через точки касания $E$ и $F$ . $H$ и $G$ — вторые точки пересечения линий центров и третьей окружности. Теперь разберем два случая.