Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №194

Просмотров 7 Комментарии 0

Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O.$ На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$ так, что $∘ ∠BAC + ∠AKC = 90.$

a) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника $OBKC,$ если $BC = 48$ и $3 cos∠BAC = 5.$

а) Сначала докажем, что точка $K$ не может лежать внутри или на границе треугольника $ABC$ . Для этого предположим противное. Пусть $D$ — точка пересечения прямой $AO$ с $BC$ .

Посчитаем углы. Везде далее будем использовать обозначения $∠CAB = α,∠ABC = β,∠BCA = γ$ . $∠AOC = 2∠ABC =2β$ как центральный.

В треугольнике $AOC$ : $1 ∘ ∘ OA= OC ⇒ ∠CAO =2(180 − ∠AOC )= 90 − β$ .

В треугольнике $ADC$ : $∘ ∘ ∠ADC = 180 − ∠CAD − ∠DCA = 90 +β − γ$ .

$PIC$

По условию $∠AKC = 90∘− α$ , при этом $∠AKC = ∠KDC +∠DCK ≥ ∠KDC$ (т.к. $∠DCK ≥0$ ). Запишем это неравенство:

$pict$

Получили противоречие, такое неравенство не может выполняться, т.к. $ABC$ остроугольный по условию.

Теперь мы уверены в том, как выглядит картинка, и можем перейти к основной части решения. Из условия $∘ ∠AKC = 90 − α$ . $∠COB =2∠CAB = 2α$ (центральный вдвое больше вписанного). В равнобедренном треугольнике $OBC$ : $1 ∘ ∘ ∠OBC = 2(180 − ∠COB )= 90 − α$ . Получили, что в четырехугольнике $OBKC$ углы, опирающиеся на сторону $OC$ равны, а значит, он вписанный.

$PIC$

б) Назовем искомый радиус $R$ . Тогда по следствию из теоремы синусов (не забываем, что $α< 90∘$ )

$pict$