Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №192

Просмотров 6 Комментарии 0

Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.

a) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне.

б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.

а) Очевидно, что радиусы окружностей равны ( $O M =O P = O R 1 2 2$ ), т.к. они вписаны меж двух параллельных прямых. $O1M ⊥ MP, O2P ⊥ MP$ как радиусы в точки касания $⇒ O1O2PM$ — прямоугольник $⇒ O1O2 = MP$ . Докажем теперь, что $MP =CD$ .

$∠CDM = ∠DCR$ как накрест лежащие, $DO1$ — биссектриса $∠CDM$ , $CO2$ — биссектриса $∠DCR$ , т.к. это направления на вписанные в соответствующий угол окружности. Из этого $∠O1DM = ∠O2CR$ . Тогда прямоугольные треугольники $CRO2$ и $DMO1$ равны по катету ( $O2R = O1M$ ) и углам $⇒ MD = CR$ . $CR =CQ, DP =DQ$ как отрезки касательных. Получили: $O1O2 =MP = MD + DP =CR + DP = CQ +DQ = CD$ , что и требовалось.

$PIC$

б) По условию $CL =2,LD = 50$ . Из первого пункта $CL =KC = DP = QD = 2$ , $MD = LD =50$ . Опустим перпендикуляр $CH$ на $MD$ . $KCHM$ — прямоугольник $⇒ MH =KC = 2⇒ HD = MD − MH = 48$ . Тогда по теореме Пифагора в $△CDH :CH = √CD2-− HD2-=20⇒$ радиус каждой из окружностей равен $10$ . По теореме Пифагора получим: $AO2 = ∘AP-2+O2P-2 = 2√986$ .

$PIC$