Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №191

Просмотров 6 Комментарии 0

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD,$ вторая — боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.

a) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P.$

Докажите, что $AP :PD = sinD.$

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

а) Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $E.$ Центр окружности, вписанной в угол, всегда лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, прямая $O1O2$ проходит через точку $E$ и является биссектрисой угла $∠AED$ треугольника $AED.$ Тогда она делит сторону $AD$ в отношении

AE- = sin∠EDA = AP- ED PD

$PIC$

б) Пусть $K$ — точка касания малой окружности с прямой $AB,$ $L$ — точка касания большей окружности с прямой $AB,$ $H$ — основание перпендикуляра из $O1$ на $O2L.$ Тогда имеем:

O2L ⊥AB, O1K ⊥ AB ⇒ O1K ∥O2L, O1H ∥ KL

Получаем, что $KO1HL$ — прямоугольник. Кроме того,

KO1 = LH = 1, HO2 = O2L− LH = 2

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $HO1O2$ имеем:

∘ ----------- √ - O1H = O1O22 − O2H2 =2 3

Заметим, что в прямоугольном треугольнике $O1O2H$ катет $HO2$ равен половине гипотенузы $O1O2,$ следовательно, $∠HO1O2 = 30∘.$ Из параллельности $KL ∥O1H$ равны как соответственные углы