Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №190

Просмотров 6 Комментарии 0

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC,$ $I$ — центр вписанной в него окружности, $H$ — точка пересечения высот. Известно, что $∠BAC = ∠OBC + ∠OCB.$

а) Докажите, что точка $I$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC.$

б) Найдите угол $OIH,$ если $∠ABC = 55∘.$

а) Отрезки $CO = BO$ как радиусы описанной окружности $⇒ ∠OBC =∠OCB = α.$ Тогда по условию $∠CAB =2α,$ кроме того, $∠COB = 2∠CAB =4α$ как центральный угол, опирающийся на ту же дугу описанной окружности. В $△ OBC :$ $180∘ = 6α ⇒ α = 30∘ ⇒ ∠CAB =60∘, ∠COB = 120∘.$

Обозначим $∠BCI = ∠ICA = γ, ∠ABI =∠IBC = β$ . Тогда в $△ CIB$ : $∠CIB =180∘− (γ+ β)$ . При этом по сумме углов $△ ABC$ : $180∘ = 2γ+ 2β+ 60∘ ⇒ γ +β = 60∘ ⇒ ∠CIB =180∘− 60∘ = 120∘ = ∠COB ⇒$ четырехугольник $CIOB$ — вписанный, так как углы, опирающиеся на сторону $CB$ , равны.

$PIC$ $PIC$

б) По условию $∘ ∘ ∠B = 55 , ∠C = 65$ .

Пусть $B1$ и $C1$ — основания высот из вершин $B$ и $C$ соответственно. Тогда четырехугольник $AC1HB1$ — вписанный, так как $∠AC1H + ∠AB1H = 90∘+ 90∘ = 180∘$ . Из вписанности $∠B1AC1 + ∠C1HB1 = 180∘ ⇒ ∠C1HB1 = 180∘− ∠B1AC1 = 120∘ = ∠CHB = ∠COB ⇒$ четырехугольник $CHOB$ — вписанный, так как углы, опирающиеся на сторону $CB$ , равны.

$PIC$

Получили, что точки $C$ , $H$ , $O$ , $B$ лежат на одной окружности, при этом по пункту а) точки $C$ , $I$ , $O$ , $B$ также лежат на одной окружности $⇒$ все пять точек лежат на одной окружности, причем именно в таком порядке как на картинке, то есть $C → H → I → O → B$ .

Докажем это. $∘ ∘ ∠HCA = ∠C1CA = 90 − ∠CAC1 = 30$ .

1 ∘ ∠ACI = 2∠BCA = 32.5 > ∠HCA » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-5575-38.svg» width=»auto»>. </p>
<p class= ∠OCB = 30∘ ⇒ ∠ACO = 65∘ − 30∘ =35∘ > ∠ACI » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-5575-39.svg» width=»auto»>. </p>
<p class= Значит, порядок фиксирован и соответствует картинке. Далее, $∠OCH = ∠C − ∠BCO − ∠HCA = 5∘$ .

Из вписанности пятиугольника $CHIOB$ четырехугольник $CHIO$ — вписанный и $∠OIH +∠OCH = 180∘ ⇒ ∠OIH = 180∘− ∠OCH = 175∘$ .