Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №19

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

x+2 x x 2x + 2x---+ -4x-+-7⋅2x++2-20-≤ 1 2 − 4 4 − 3⋅2 + 32

Сделаем замену 2x = t> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-502-1.svg» width=»auto»><span class= :

2 t+ -4t-+ t2-+-7t+-20-≤ 1 t− 4 t − 12t+ 32

ОДЗ:

{t − 4 ⁄= 0 {t ⁄= 4 2 ⇔ t − 12t+ 32⁄= 0 t⁄= 8

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

t3− 8t2+ 19t− 12 --t2−-12t+32---≤ 0

Разложим числитель левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень $t= 1$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $t− t0$ , где $t0$ – корень, тогда

t3− 8t2 +19t− 12 |---t−-1---- t3−--t22- | t2− 7t+ 12 −7t2+ 19t | −-7t+127tt− 12 | 12t−-12- | 0

тогда последнее неравенство равносильно

(t−(1t)−(t−4)(3t)−(t8−) 4)-≤0

По методу интервалов

$PIC$

откуда $t∈ (−∞;1]∪ [3;4)∪(4;8)$
с учётом ОДЗ и условия $t> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-502-12.svg» width=»auto»>: <img decoding=$
в исходных переменных:

x∈ (− ∞;0]∪ [log2 3;2)∪ (2;3).