Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №189

Просмотров 6 Комментарии 0

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD,$ перпендикулярна диагонали $AC$ и пересекает сторону $AD$ в точке $M,$ равноудалённой от вершин $B$ и $D.$

a) Докажите, что прямые $BM$ и $BD$ делят угол $B$ на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ до прямой $CM,$ если $DC =6√21.$

а) Обозначим $∠MBD = α$ . По условию $MB =MD,$ значит, $△ MBD$ — равнобедренный и $∠BDM = ∠MBD =α.$ Угол $BMA = 2α$ как внешний угол треугольника $MBD.$ Отрезок $MB$ перпендикулярен $AC$ по условию, а $∠CDA$ — угол прямоугольника $ABCD.$ Тогда четырехугольник $MECD$ вписанный по сумме противоположных углов $∠MEC +∠CDM = 90∘ +90∘ = 180∘.$

Тогда имеем:

∘ ∠DME + ∠ECD =180 = ∠DME +∠EMA ⇒ ∠ECD =∠EMA = 2α

В прямоугольнике диагонали равны, значит,

OC = OD ⇒ ∠ODC = ∠OCD = 2α

Получили

90∘ = ∠CDA = ∠CDO + ∠ODA =3α ⇒ α= 30∘

Тогда

∠BMA = ∠CDB = 60∘ ⇒ ∠MBD = ∠ABM = ∠DBC = 30∘

$PIC$

б) Пусть точка $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $CM$ , точка $H1$ — основание высоты из вершины $A$ в треугольнике $ACM$ . Заметим, что в силу $OH ∥AH1$ треугольники $ACH1$ и $OCH$ подобны с коэффициентом подобия 2, так как $AO = OC$ .