Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №188

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружность касается стороны $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ и делит каждую из сторон $AB$ и $BC$ на три равные части.

a) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону $BC.$

Для начала докажем лемму.

__________________________________________________________________________________________________

$PIC$

Лемма 1. Пусть есть окружность и точка $A$ вне ее. Через точку $A$ проведена касательная $AK$ к окружности, а также прямая, пересекающая окружность в двух точках $B$ и $C$ . Тогда $AB ⋅AC = AK2$ .

Доказательство. $∠KCB =∠AKB$ , т.к. угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Тогда $△AKB ∼ △ACK$ по двум углам (т.к. $∠A$ общий). Запишем подобие

AB- = AK-⇔ AB ⋅AC =AK2 AK AC

__________________________________________________________________________________________________

а) Обозначим длину трети стороны $AB$ через $c$ , трети стороны $BC$ за $b$ . По лемме 1: $BL ⋅BK = l2 =BM ⋅BN$ , где $l$ — длина касательной к окружности из точки $B$ . Тогда $2b⋅b= 2c ⋅c⇒ b=c ⇒ △ABC$ — равнобедренный.

$PIC$

б) Введем новые обозначения. Пусть треть боковой стороны равна $a$ . По лемме 1: $AB21 =AK ⋅AL$ , $CB21 = CN ⋅CM$ . Тогда $√- CB21 = AB21 =2a2 ⇒ CB1 = AB1 = a 2$ . Пусть $p$ — полупериметр $△ABC$ : $√- p= 3a+ a 2$ . Запишем площадь треугольника $ABC$ двумя способами

$pict$

По теореме Пифагора для $△ ABH$

$pict$

$PIC$