В треугольник 
в котором длина стороны 
меньше длины стороны 
вписана окружность с центром 
Точка 
симметрична точке 
относительно прямой 
а) Докажите, что точки 
и 
лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника 
если 
и 
а) При симметрии относительно биссектрисы угла точка на стороне угла переходит в точку на другой стороне этого угла. Точка 
— центр вписанной окружности треугольника 
следовательно, 
— биссектриса 
Таким образом, точка 
попадет на продолжение стороны 
так как по условию 
Пусть 
— точка пересечения прямой 
и отрезка 
Точки 
и 
симметричны относительно прямой 
следовательно, 
Чтобы доказать вписанность четырехугольника 
покажем, что сумма его противоположных углов 
и 
равна 
Обозначим 
Тогда имеем:
Значит, четырехугольник 
— вписанный.
б) Заметим, что 
— пифагорова тройка. Тогда угол 
треугольника 
— прямой, а треугольник 
— равнобедренный прямоугольный с катетом 
по построению точки 
Отрезки 
и 
— высоты треугольников 
и 
равные радиусу 
вписанной окружности.
Обозначим полупериметр треугольника 
за 
и запишем площадь треугольника 
двумя способами:
Тогда искомая площадь четырехугольника 
равна
