В трапеции 
угол 
прямой. Окружность, построенная на большем основании 
как на диаметре, пересекает меньшее основание 
в точках 
и 
a) Докажите, что 
б) Диагонали трапеции 
пересекаются в точке 
Найдите площадь треугольника 
если 
а 
а) По условию 
— трапеция, отсюда 
и 
как накрест лежащие. Докажем равенство углов 
и 
Заметим, что отрезок 
проходит через конец диаметра и перпендикулярен ему, следовательно, 
— касательная к окружности.
Угол 
является углом между касательной 
и хордой 
а угол 
— вписанный, опирающийся на эту же хорду. Известно, что такие углы равны. Тогда имеем:
Что и требовалось доказать.
б) Углы 
и 
— равные вписанные углы, следовательно, они опираются на равные дуги окружности и стягивающие их хорды 
и 
тоже равны. Пусть 
тогда из условия 
Продлим отрезок 
на длину 
за точку 
до точки 
Так как трапеция равнобокая, то 
и 
по углу и прилежащим к нему сторонам. Тогда угол 
— прямой и 
— прямоугольник.
Далее, треугольники 
так как угол 
общий и 
по пункту а).
Записав отношение подобия, получаем
 |
Из подобия треугольников 
и 
имеем:
Тогда площадь треугольника 
равна
 |