Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №185

а) Пусть — середина Тогда из условия

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Тогда треугольники и подобны с коэффициентом

Из этого и а — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и треугольника Следовательно точка — центр описанной окружности треугольника а значит, равноудалена от и

б) Из пункта а) ясно, что — серединный перпендикуляр к длина равна расстоянию от точки до прямой что равно по условию пункта б). Тогда в треугольнике медиана из вершины равна половине противолежащей стороны Отсюда треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине Заметим, что угол является вписанным, а угол — центральным для описанной около треугольника окружности, следовательно, Тогда по сумме углов в треугольнике