Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №183

Просмотров 7 Комментарии 0

Toчка $M$ — середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC.$ Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N.$

a) Докажите, что $∠CAN =∠CMN.$

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM,$ ecли $12- tg∠BAC = 5 .$

$PIC$

а) Рассмотрим четырехугольник $AMNC$ . Углы при вершинах $M$ и $C$ прямые из условия. Таким образом, $AMNC$ является вписанным (сумма противоположных углов $∘ ∘ ∘ ∠C+ ∠M = 90 +90 = 180$ ). Тогда $∠CAN = ∠CMN$ по свойству вписанного четырехугольника, что и требовалось.

$PIC$

б) Аналогично первому пункту $∠NCM = ∠NAM$ . $MN$ по условию является серединным перпендикуляром к $AB$ , тогда $△AMN = △BMN$ как прямоугольные с равными соответствующими катетами. Тогда $∠NAM = ∠NBM$ . Получили тройку равных углов $∠NCM = ∠NAM =∠NBM$ . Из этого $△ CBM ∼△ABN$ с коэффициентом $CB k = AB = cos∠ABC$ по двум углам. Отношение радиусов описанных окружностей подобных треугольников равняется коэффициенту подобия. Найдем его

k= CABB-= cos∠ABC =sin∠BAC = ∘--tg∠BA2C----= 1123 1+tg ∠BAC

Требуемое в условии отношение обратно найденному $1= 13 k 12$ .