Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №181

Просмотров 7 Комментарии 0

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM.$ На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH :AC,$ если $∠ABC = 30∘.$

а) Рассмотрим четырехугольник $AMKC.$ Он вписанный, так как углы, опирающиеся на сторону $AC,$ равны:

∘ ∠AMC = ∠AKC = 90

Аналогично четырехугольник $MKHE$ вписанный, так как $∠KEM = ∠KHM = 90∘.$

Из вписанности $AMKC$ имеем $∠ACM = ∠AKM,$ из вписанности $MKHE$ имеем $∠MKE = ∠MHE.$

$PIC$

Получили

∠ACM = ∠AKM = ∠MKE = ∠MHE ⇒ EH ∥AC

б) Обозначим за $D$ точку пересечения высот $AK$ и $CM.$ Тогда из параллельности, доказанной в пункте а), следует

EH DH △DEH ∼ △DAC ⇒ AC- = DC--

Найдем это отношение.

По условию $∠ABC = 30∘.$ Так как треугольник $MBC$ прямоугольный, то

∠BCM = 90∘− ∠MBC = 60∘

Аналогично имеем:

∘ ∘ ∘ ∠KDC = 90 − ∠KCD = 90 − ∠BCM = 30

$PIC$

Тогда из прямоугольных треугольников $DHK$ и $DCK$ получаем

$pict$

из прошлых лет