Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №180

Просмотров 8 Комментарии 0

Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, пересекаются в точке $P,$ причём $BC =CD.$

a) Докажите, что $AB :BC = AP :P D.$

б) Найдите площадь треугольника $COD,$ где $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABD,$ если дополнительно известно, что $BD$ — диаметр описанной около четырёхугольника $ABCD$ окружности, $AB = 6$ и $√ - BC =6 2.$

а) Дуги окружности, стянутые равными хордами, равны/ следовательно, малая дуга $BC$ равна малой дуге $CD,$ значит, вписанные углы $BAC$ и $CAD,$ опирающиеся на эти дуги, тоже равны. $∠BCA = ∠BDA,$ так как опираются на одну дугу. Тогда $△ ABC ∼ △AP D$ по двум углам. Подобие сразу влечет нужное соотношение: $AB :BC = AP :P D.$

$PIC$

б) По первому пункту $AC$ — биссектриса угла $DAB,$ следовательно, центр вписанной окружности $O$ треугольника $ABD$ лежит на $AP.$ По условию второго пункта $BD$ — диаметр, значит, $∠BCD = ∠DAB = 90∘.$

По теореме Пифагора для треугольника $BCD :$

∘---2-----2 BD = BC + CD = 12

Тогда заметим, что в прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $AB$ равен половине гипотенузы $BD,$ значит, $∠BDA,$ лежащий напротив этого катета, равен $∘ 30,$ а $∘ ∠ABD = 60.$ $∘ ∠ACD = ∠ABD = 60 ,$ так как опирается на ту же дугу.

Трегольник $BCD$ — прямоугольный равнобедренный, значит, $∠CDB = 45∘.$ $DO$ — биссектриса угла $BDA = 30∘,$ так как $O$ — центр вписанной окружности, следовательно, $∠BDO =15∘.$ Тогда