Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №179

Просмотров 32 Комментарии 0

Последовательность $a1,a2,...,a6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $Mk$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$ -го. Известно, что $M1 = 1,M2 = 2.$

а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M3 =1,6.$

б) Существует ли такая последовательность, для которой $M3 = 3?$

в) Найдите наибольшее возможное значение $M3.$

Обозначим сумму всех чисел последовательности через $S.$

а) Из условия задачи получаем:

$pict$

Возьмем, например, $S = 10.$ Тогда $a1 = 5, a2 = 0, a3 =2.$ Чтобы сумма была равна 10, возьмем $a4 = a5 = a6 = 1.$ Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

б) Как и в пункте а), имеем $a1 = S − 5, a2 = S− 10,$ условие на третье число даст:

S-− a3 M3 = 5 = 3 ⇔ a3 = S− 15

Тогда разность первого и третьего членов последовательности равна

a1 − a3 = (S − 5)− (S− 15)= 10

Такое невозможно, так как $a1$ и $a3$ по условию являются цифрами.

в) По условию имеем:

M3 = S−-a3- ⇔ a3 = S− 5M3 5

Так как $a1$ и $a3$ — цифры, то модуль разности $|a1− a3|$ не должен превышать 9:

|a1− a3|=|(S− 5)− (S − 5M3 )|= |5M3 − 5|= 5|M3− 1|≤ 9 ⇔

⇔ |M3 − 1|≤ 1,8 ⇔ M3 ∈[−0,8;2,8]

Построим пример для $M3 = 2,8.$ Тогда третий член последовательности равен

a3 =S − 5M3 = S− 14

Возьмем $S = 14.$ Тогда $a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0.$ Чтобы сумма была равна 14, возьмем $a4 = 1, a5 =a6 = 0.$ Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

из прошлых лет