Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №178

Просмотров 7 Комментарии 0

Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает диагональ $BD$ квадрата в точке $K.$

а) Докажите, что $CK ⋅CE = BC ⋅AD.$

б) Найдите отношение $CK :KE,$ если $∠ECD = 75∘.$

а) Так как $ABCD$ — квадрат, то $BC = AD$ и достаточно показать, что $CK ⋅CE = BC2.$

Рассмотрим треугольники $△ BCE$ и $△ BCK.$ В них $∠BCE$ — общий, а $∠BEC = ∠CBK$ как вписанные углы, опирающиеся на стягиваемые равными хордами дуги $BC$ и $CD$ соответственно.

$PIC$

Таким образом, треугольники $△ BCE$ и $△ BCK$ подобны и

BE BC CE BK--= CK- = BC- ⇒ CK ⋅CE = BC2

б) Найдем некоторые углы на рисунке:

$pict$

$PIC$

Из теоремы синусов для треугольника $BCK$ следует, что

-CK---= -BK--- ⇒ CK = BK-⋅sin-45∘- sin45∘ sin15∘ sin 15∘

Из теоремы синусов для треугольника $EBK$ следует, что

-EK---= -BK--- ⇒ EK = BK-⋅sin-75∘ sin75∘ sin45∘ sin 45∘

Отсюда найдем отношение

∘ ∘ 2 ∘ CK--= BK-⋅sin∘45--⋅--sin45--∘-= ---sin∘-45---∘ KE sin15 BK ⋅sin 75 sin15 ⋅sin75

Мы знаем, что для углов $α$ и $β$ верна формула произведения синусов:

1 sinα ⋅sinβ = 2 (cos(α − β)− cos(α+ β))

Таким образом,

sin 75∘ ⋅sin15∘ = 1(cos60∘− cos90∘)= 12-− 0-= 1 2 2 4

Также

2 ∘ ( √2-)2 2 1 sin 45 = 2 = 4 = 2

Значит,

CK-- ---sin245∘--- 12- 1 4 2 KE = sin15∘⋅sin75∘ = 14 = 2 ⋅1 = 1

Это отношение можно было вычислить без формулы произведения синусов. Например, можно было сказать, что $∘ ∘ sin75 = cos15,$ поэтому

CK-- ---sin245∘--- ------12----- KE = sin 15∘⋅sin75∘ = sin15∘⋅cos15∘ = 1 1 1 2 = 2sin-15∘-⋅cos15∘ = sin30∘ =-1= 1 2

из прошлых лет