Две окружности с центрами 
и 
пересекаются в точках 
и 
причем точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
Продолжения диаметра 
первой окружности и хорды 
этой окружности пересекают вторую окружность в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что треугольники 
и 
подобны.
б) Найдите 
если 
радиус второй окружности втрое больше радиуса первой окружности и 
а) Заметим, что 
по трем сторонам, следовательно, 
— биссектриса углов 
и 
Следовательно,
Аналогично доказывается, что 
Следовательно, по двум углам 
б) Заметим, что точки 
и 
лежат на одной прямой. Действительно, пусть это не так:
Так как в предыдущем пункте мы доказали, что 
то 
Следовательно, соответственные углы при пересечении параллельных прямых 
и 
секущей 
должны быть равны, то есть 
Но тогда 
при секущей 
откуда следует, что прямые 
и 
должны быть параллельны. Но это невозможно, так как прямые имеют общую точку. Что и требовалось доказать.
Таким образом, мы доказали, что 
Проведем 
Так как радиус (в данном случае часть радиуса 
), перпендикулярный хорде, делит ее пополам, то 
Заметим, что 
как опирающийся на диаметр 
Пусть 
Тогда 
как прямоугольные с равными острыми углами 
и 
Запишем отношение подобия:
Отсюда искомый отрезок 
равен
