Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №176

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение  log (22x − √3-cosx− sin2x)= x. 4

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π 3π] − 2;-2 .

а) Выпишем ОДЗ уравнения:

2x √ - 2 − 3cosx− sin2x > 0 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-2513-1.svg» width=»auto»></div> <p class= Преобразуем уравнение:

22x− √3 cosx − sin2x= 4x (∗) √- − 3cosx− sin2x = 0 √ - 2 sinxcosx+ 3cosx = 0 cosx ⋅(2sinx+ √3) =0

Последнее уравнение равносильно совокупности

⌊x= π-+ πn,n∈ ℤ ⌊ | 2 ⌈cosx = 0√ - ⇔ |||x= − π+ 2πm,m ∈ ℤ sinx = −--3 |⌈ 3 2 x= − 2π+ 2πk,k ∈ ℤ 3

Проверим, подходят ли эти корни под ОДЗ. Так как эти корни получились из уравнения (∗) и 4x > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2513-5.svg» width=»auto»> при всех <img decoding= то при подстановке данных корней в уравнение левая часть (∗) также будет всегда положительна. Следовательно, все корни удовлетворяют ОДЗ.

б) Отберем корни с помощью неравенств.

π π 3π 1) − 2-≤ 2 + πn ≤ 2 ⇔ − 1≤ n≤ 1 π π 3π n = −1; 0; 1 ⇒ x= − 2; 2; 2- 2) − π-≤− π-+ 2πm ≤ 3π- ⇔ − 1-≤ m ≤ 11 2 3 2 12 12 m = 0 ⇒ x = − π- 3 π 2π 3π 1 13 3) − 2-≤− -3 +2πk ≤ 2- ⇔ 12-≤ k ≤ 12 4π k = 1 ⇒ x= -3
из прошлых лет
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!