Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №175

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружности радиусов 11 и 24 с центрами $O1$ и $O2$ соответственно касаются внутренним образом в точке $K;$ $MO1$ и $NO2$ – параллельные радиусы этих окружностей, причем $∠MO1O2 =60∘.$ Найдите $MN.$

Данная задача имеет два случая.

1) Проведем $MO1$ и $NO2$ так, чтобы точки $M$ и $N$ лежали по одну сторону от прямой $O1O2$ .
Проведем $NK$ и $MK$ .

$PIC$

Так как $O1M ∥O2N$ , то $∠NO2K = 120∘$ . Следовательно, так как $△NO2K$ равнобедренный, то $∠O2KN =30∘$ .
$∘ ∠MO1K = 120$ как смежный с $∠MO1O2$ . Так как $△MO1K$ тоже равнобедренный, то $∘ ∠O1KM = 30$ . Следовательно, прямые $NK$ и $MK$ наклонены под углом $30∘$ к прямой $O2K$ и имеют общую точку, то есть они совпадают. Это значит, что точка $M$ лежит на отрезке $NK$ .

$PIC$

Заметим, что $△T MK$ прямоугольный, следовательно,

√ - cos30∘ = MK- ⇔ --3= MK-- ⇔ MK = 11√3. TK 2 22

По теореме косинусов из $△NO2K$ :

∘ --------------------- √- NK = 242+242− 2⋅242 ⋅cos120∘ = 24 3.

Следовательно,

√- NM =NK − MK = 13 3.

2) Проведем $MO1$ и $NO2$ так, чтобы точки $M$ и $N$ лежали по разные стороны от прямой $O1O2$ .

$PIC$

Продолжим радиус $MO1$ за точку $O1$ и получим диаметр $MM ′$ . Тогда $M ′O1 ∥O2N$ и, как в первом случае, точки $N,M ′$ и $K$ лежат на одной прямой.
Соединим также точки $M$ и $K$ и получим прямоугольный $△MNK$ ( $∠K = 90∘$ , так как опирается на диаметр $MM ′$ ).
Заметим, что $△NO2K$ равносторонний, следовательно, $NK =O2N = 24$ .
Рассмотрим прямоугольный $△MT K$ ( $T$ – вторая точка пересечения меньшей окружности с прямой $O O 1 2$ ). Так как $△MO T 1$ также равносторонний, то $∠MT K = 60∘$ , следовательно,

sin∠MT K = MK-= MK-- ⇔ MK = 11√3. TK 22

Следовательно, по теореме Пифагора

2 2 2 √ --- MN = MK + KN ⇔ MN = 939