Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №173

Просмотров 7 Комментарии 0

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ сторона $AB$ основания равна 12, а высота призмы равна 2. На ребрах $B1C1$ и $AB$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причем $PC1 = 3,$ $AQ = 4.$ Плоскость $(A1P Q)$ пересекает ребро $BC$ в точке $M.$

а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $BC.$

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $(A1PQ ).$

а) Обозначим $(A1PQ) =α.$ Так как плоскости $(ABC )$ и $(A1B1C1)$ параллельны, то плоскость $α$ пересечет их по параллельным прямым, то есть $QM ∥A1P.$ Тогда $△ A1B1P ∼△QBM,$ откуда имеем:

BM BQ B-P-= B-A-- 1 1 1

Следовательно,

B1P-⋅BQ- (12−-3)⋅(12-− 4) 1 BM = B1A1 = 12 =6 = 2BC

Тогда точка $M$ делит ребро $BC$ пополам и является его серединой.

$PIC$

б) Расстояние от точки $B$ до плоскости $α$ равно высоте пирамиды $BQSM,$ проведенной из вершины $B$ к основанию $QSM :$

3VBQSM hB = -SQSM--

Рассмотрим $BQSM$ как пирамиду с вершиной в точке $S$ и основанием $QBM.$ Тогда

V = 1SB ⋅S = 1 ⋅SB ⋅ 1⋅QB ⋅BM ⋅sin∠QBM BQSM 3 QBM 3 2

Из подобия треугольников $SBM$ и $SB1P$ найдем $SB = 4.$ Тогда

1 1 √3- √- VBQSM = 3 ⋅4⋅2 ⋅8⋅6⋅-2-= 16 3

По теореме Пифагора в треугольнике $SBM$ найдем $√ -- SM = 2 13.$

По теореме Пифагора в треугольнике $SBQ$ найдем $√ - SQ = 4 5.$

По теореме косинусов в треугольнике $QBM$ найдем $√ -- QM = 2 13.$

Следовательно, $QM = SM$ и $△ QSM$ — равнобедренный. С помощью высоты, проведенной к основанию $QS,$ найдем $S = 8√10. QSM$

Тогда искомое расстояние равно

√ - √ -- hB = 3VBQSM-= 3-⋅1√6--3= 3--30 SQSM 8 10 5

из прошлых лет