Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №172

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

( || y(y − 7) = xy − 5(x + 2) { x ≤ 6 ||( a(x-−-6) −-2-= 1 y − 2

имеет единственное решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

y2 − (7 + x )y + 5 (x + 2 ) = 0, D = (x − 3)2 ⇒ y1 = x + 2 и y2 = 5.

Таким образом, систему можно переписать в виде:

( [ ||| y = x + 2 |||{ y = 5 | x ≤ 6 |||| y ⁄= 2 |( y = a(x − 6)

Найдем значения параметра, при каждом из которых прямая $y = a(x − 6)$ пересекает ровно в одной точке график системы $( [ ||| y = x + 2 |{ y = 5 ||| x ≤ 6 |( y ⁄= 2$

Рассмотрим рисунок:

$PIC$

Зеленым цветом отмечен график системы (заметим, что точка $(0;2)$ выколота), синим – примеры подходящего положения прямой $y = a(x − 6)$ .

1) Рассмотрим положение (1): прямая $y = a(x − 6)$ проходит через точку $(3;5)$ пересечения графиков $y = 5$ и $y = x + 2$ . Следовательно, $5 a = − 3-$ .

2) Рассмотрим положение (2): прямая $y = a(x − 6)$ проходит через выколотую точку $(0; 2)$ , следовательно, $1 a = − -- 3$ .

3) Рассмотрим положение (3): прямая $y = a(x − 6)$ совпадает с осью $Ox$ , следовательно, $a = 0$ .

4) Рассмотрим положение (4): прямая $y = a(x − 6)$ наклонена под острым углом к оси $Ox$ , следовательно, $a > 0 » class=»math» width=»auto»>. Но заметим, что при <img decoding=$ прямая $y = a(x − 6)$ параллельна прямой $y = x + 2$ и не имеет точек пересечения с зеленым графиком. При $a > 1 » class=»math» width=»auto»> прямая <img decoding=$ не имеет с зеленым графиком точек пересечения, так как $x ≤ 6$ (а точки пересечения могли бы быть при $x > 6 » class=»math» width=»auto»>). </p> <p class=$ Таким образом, имеем окончательный ответ: $5 1 a ∈ { − 3;− 3} ∪ [0;1 )$ .