Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №169

Просмотров 7 Комментарии 0

В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки $A$ и $B.$ На окружности верхнего основания отмечены точки $B1$ и $C1$ так, что $BB1$ является образующей цилиндра, перпендикулярной основаниям, а $AC1$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что прямые $AB$ и $B1C1$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC1$ и $BB1,$ если $AB = 12,$ $B1C1 = 9,$ $BB1 = 8.$

а) Пусть $C$ — проекция точки $C1$ на плоскость нижнего основания. Так как $AC1$ пересекает ось $OO1$ цилиндра, то $AC1$ лежит в плоскости осевого сечения цилиндра, следовательно, $AC$ — диаметр нижнего основания.

Так как $BB1$ и $CC1$ — перпендикулярные основаниям образующие, то $BB1C1C$ — параллелограмм и $B1C1 ∥BC.$ Тогда угол $∠ABC$ между прямыми $AB$ и $BC$ — это и есть по определению угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B1C1.$ С учетом того, что $AC$ — диаметр, получаем $∠ABC = 90∘$ как вписанный угол, опирающийся на диаметр.

$PIC$

б) Заметим, что прямые $BB1$ и $AC1$ являются скрещивающимися, так как $BB1 ∥(ACC1 ),$ а $AC1 ∈ (ACC1 ).$ Расстояние между скрещивающимися прямыми в таком случае равно расстоянию от любой точки прямой $BB1$ до плоскости $(ACC ). 1$ Проведем $BH ⊥ AC$ в плоскости $(ABC ).$ Так как высота цилиндра $OO ⊥ (ABC ), 1$ то $OO1 ⊥ BH.$

Таким образом, мы имеем две прямые в плоскости $(ACC1),$ которые перпендикулярны прямой $BH.$ Значит, $BH$ — расстояние от точки $B$ до плоскости $(ACC1 ),$ то есть искомое расстояние.