Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №167

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ 2x2+ 2y2 = 5xy (x− a)2+ (y− a)2 = 5a4

имеет ровно два решения.

1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно $x$ :

2 2 2x − (5y)x + 2y =0

Дискриминант равен $D =9y2$ , следовательно,

x1,2 = 5y±-3y ⇒ x1 =2y, x2 = 1y 4 2

Тогда уравнение можно переписать в виде

(x− 2y)⋅(2x − y)= 0

Следовательно, всю систему можно переписать в виде

( [y = 2x |{ |( y = 0,5x (x− a)2 +(y− a)2 = 5a4

Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в $(a;a)$ и радиусом $√- 2 R = 5a$ . Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, $a= 1$ :

$PIC$

Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой $y = x$ .

2) Так как у прямой $y =kx$ тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси $Ox$ равен $k$ , то тангенс угла наклона прямой $y = 0,5x$ равен $0,5$ (назовем его $tg α$ ), прямой $y =2x$ – равен $2$ (назовем его $tgβ$ ). Заметим, что $tgα ⋅tgβ = 1$ , следовательно, $tgα = ctg β = tg(90∘ − β)$ . Следовательно, $α = 90∘− β$ , откуда $α +β = 90∘$ . Это значит, что угол между $y =2x$ и положительным направлением $Oy$ равен углу между $y = 0,5x$ и положительным направлением $Ox$ :

$PIC$

А так как прямая $y =x$ является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями $Ox$ и $Oy$ равны по $45∘$ ), то углы между $y = x$ и прямыми $y =2x$ и $y = 0,5x$ равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые $y = 2x$ и $y = 0,5x$ симметричны друг другу относительно $y = x$ , следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если $a =0$ , то окружность вырождается в точку $(0;0)$ и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:

$PIC$

Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти $a> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2385-43.svg» width=»auto»>, а в третьей <img decoding=$ (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.