В основании правильной пирамиды 
лежит квадрат 
со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину 
и середину ребра 
перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию равен 
б) Найдите площадь сечения пирамиды.
а) Пусть 
— плоскость сечения пирамиды. По свойству правильной пирамиды 
Так как ребро 
перпендикулярно плоскости 
то оно перпендикулярно любой прямой из этой плоскости. Следовательно, 
где 
— середина ребра 
Тогда 
— медиана и высота в 
то есть этот треугольник равнобедренный и 
С учетом 
получили, что 
— равносторонний и 
Но это и есть угол между боковым ребром 
и плоскостью основания.
б) Проведем еще одну прямую, пересекающую 
и перпендикулярную 
Тогда плоскость, проходящая через эту прямую и прямую 
и есть плоскость 
Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная 
также перпендикулярна 
Следовательно, если провести через точку 
пересечения прямых 
и 
прямую 
параллельно 
то 
Таким образом, 
— искомое сечение.
Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах 
Тогда с учетом 
имеем 
Следовательно,
Рассмотрим 
В нем имеем:
Отсюда по теореме Пифагора 
Так как 
и 
— медианы в 
то
Так как 
то
Тогда искомая площадь сечения равна
