Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №163

Просмотров 7 Комментарии 0

В выпуклом четырехугольнике $ABCD :$ $AB = 3,$ $BC = 5,$ $CD = 5,$ $AD = 8,$ $AC = 7.$

а) Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.

б) Найдите диагональ $BD.$

а) Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180∘,$ то около него можно описать окружность. Докажем, что $∠B + ∠D = 180∘.$ По теореме косинусов для $△ABC$ имеем:

2 2 2 cos∠B = AB--+BC--−-AC--= − 1 2⋅AB ⋅BC 2

По теореме косинусов для $△ADC$ имеем:

AD2 + CD2 − AC2 1 cos∠D = ---2-⋅AD--⋅CD----= 2

Так как $∘ α +β = 180$ равносильно $cosα= − cosβ,$ то из $cos∠B = − cos∠D$ следует, что $∘ ∠B + ∠D = 180.$

$PIC$

б) Если около $ABCD$ можно описать окружность, то и $∠A + ∠C = 180∘.$ Обозначим $BD = x.$ Тогда, используя теорему косинусов для $△ABD$ и $△CBD,$ можем записать систему:

(| 9+ 64− x2 |{ cos∠A = -2-⋅3⋅8-- || 25+ 25 − x2 ( cos∠C = --2⋅5⋅5---

Также имеем, что $cos∠A = − cos∠C,$ следовательно,

9+-64−-x2 25+-25−-x2 73-− x2 x2−-50 2⋅3⋅8 =− 2 ⋅5 ⋅5 ⇔ 24 = 25 ⇔ 2 2 ⇔ 73 ⋅25 − 25x = 24x − 50⋅24 ⇔ 73⋅25+ 50⋅24 25(73+ 48) 25⋅121 ⇔ x2 = -----49-----= ----49--- = --49--

Отсюда искомая диагональ равна

5-⋅11 55 x= 7 = 7

из прошлых лет