Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №161

Просмотров 6 Комментарии 0

a) Решите уравнение $2(3π ) cos(2x)+ cos 2 − x = 0,25.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] −4π;− 5π . 2$

ОДЗ: $x$ – произвольное.

а) Пользуясь формулой приведения $cos( 3π− x)= − sinx 2$ , можно переписать исходное уравнение в виде:

cos(2x)+(− sinx)2 =0,25 ⇔ cos(2x)+ sin2x= 0,25.

Пользуясь формулой косинуса двойного угла, можно переписать последнее уравнение в виде:

( √-) ( √-) 1− 2sin2x+ sin2x =0,25 ⇔ sin2x − 0,75= 0 ⇔ sinx− -3- sin x+ -3- =0 ⇔ ⌊ √- 2 2 sinx = -3- ⇔ ||⌈ 2√- sinx =− -3. 2

Решения уравнения $sinx =a$ имеют вид: $x= arcsina+ 2πk$ , $x= π− arcsina+ 2πk$ , где $k∈ℤ$ , тогда решения уравнения $√ - sinx= --3 2$ имеют вид: $π x= 3 + 2πk$ , $2π x = 3-+ 2πk$ , где $k ∈ℤ$ .

Решения уравнения $√3 sinx =− -2-$ имеют вид: $π x= −3 +2πk$ , $4π x = 3-+ 2πk$ , где $k ∈ℤ$ .

б)

− 4π ≤ π+ 2πk≤ − 5π ⇔ − 13π-≤ 2πk≤ − 17π ⇔ − 13 ≤k ≤ − 17, 3 2 3 6 6 12

но $k∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k= −2$ : $x= − 11π 3$ .

− 4π ≤ 2π+ 2πk≤ − 5π ⇔ − 14π-≤ 2πk ≤− 19π ⇔ − 7 ≤k ≤ − 19, 3 2 3 6 3 12

но $k∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k= −2$ : $x= − 10π 3$ .

π 5π 11π 13π 11 13 −4π ≤ −-3 + 2πk ≤− 2 ⇔ −-3- ≤2πk ≤− -6- ⇔ −6-≤ k≤ − 12,

но $k∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений нет решений, принадлежащих отрезку $[ 5π] −4π;−-2$ .

4π 5π 16π- 23π 8 23 − 4π ≤ 3 + 2πk≤ − 2 ⇔ − 3 ≤ 2πk ≤− 6 ⇔ −3 ≤k ≤ −12,

но $k∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k= −2$ : $x= − 8π 3$ .

из прошлых лет