Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №160

Просмотров 7 Комментарии 0

a) Решите уравнение $8x− 7⋅4x− 2x+4 +112= 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[log25;log211].$

ОДЗ: $x$ – произвольное.

а) Исходное уравнение можно переписать в виде

(2x)3− 7⋅(2x)2− 16⋅2x+ 112 =0.

Данное уравнение – кубическое относительно $2x$ . Сделаем замену $2x = t$ :

t3 − 7⋅t2− 16 ⋅t+ 112= 0.

Последнее уравнение можно разложить на множители:

t2(t− 7)− 16(t− 7) =0 ⇔ (t2− 16)(t− 7)= 0 ⇔ (t− 4)(t+ 4)(t− 7)= 0⇔ ⌊t= 4 ⇔ |t=− 4 ⌈t= 7.

Уравнение $t= 4$ в старых переменных примет вид $2x = 4$ . Его решения: $x= 2$ .

Уравнение $t= −4$ в старых переменных примет вид $x 2 = −4$ . У него нет решений, так как x 2 > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2362-12.svg» width=»auto»>. </p>
<p class=

Уравнение $t= 7$ в старых переменных примет вид $2x = 7$ . Его решения: $x= log27$ .

б)

2= log24< log25,

следовательно, $x= 2$ не принадлежит отрезку $[log25;log211]$ .

log25 <log27 <log211,

следовательно, $x= log 7 2$ принадлежит отрезку $[log5;log 11] 2 2$ .

из прошлых лет