Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №159

Просмотров 6 Комментарии 0

a) Решите уравнение $27x − 5⋅9x− 3x+2 +45 =0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[log34;log310].$

а) Исходное уравнение можно переписать в виде

(3x)3− 5 ⋅(3x)2− 9⋅3x+ 45 = 0

Данное уравнение — кубическое относительно $x 3 .$ Сделаем замену $x 3 = t:$

t3− 5⋅t2− 9⋅t+ 45 = 0

Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители:

t2(t− 5)− 9(t− 5)= 0 ⇔ (t2− 9)(t− 5)= 0 ⌊ | t= 3 (t− 3)(t+ 3)(t− 5)= 0 ⇔ ⌈t= −3 t= 5

Уравнение $t= 3$ в старых переменных примет вид $x 3 = 3.$ Его решения: $x =1.$

Уравнение $t= −3$ в старых переменных примет вид $x 3 = −3.$ Решений нет, так как $x 3 > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2361-11.svg» width=»auto»> при всех <img decoding=$

Уравнение $t= 5$ в старых переменных примет вид $3x = 5.$ Его решения: $x =log 5. 3$

б) Рассмотрим оценку

1= log33 < log34

Тогда $x = 1$ не принадлежит отрезку $[log 4;log 10]. 3 3$

Рассмотрим оценку

log34< log35< log310

Тогда $x = log35$ принадлежит отрезку $[log34;log310].$

из прошлых лет