Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №158

Просмотров 6 Комментарии 0

a) Решите уравнение $2cos3x− cos2x+ 2cosx− 1= 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[2π;7π]. 2$

Найдем ОДЗ: $x$ — любое число.

а) Разложим левую часть на множители:

[ 2 cos2x(2cosx − 1)+ 2cosx− 1= 0 ⇔ (cos2x+ 1)(2cosx− 1)= 0⇔ ⇔ cos x+ 1= 0 cosx =0,5

Первое уравнение совокупности не имеет решений, так как $cos2x+ 1≥ 1> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2360-3.svg» width=»auto»> при всех <img decoding=$ .

Решения уравнения $cosx= a$ имеют вид:

x= ±arccosa+ 2πk, гдеk∈ ℤ

Cледовательно, решения уравнения $cosx =0,5$ имеют вид:

π x= ±-3 + 2πk, гдеk∈ ℤ

б) Отберем корни из отрезка $[ 7π ] 2π;2-$ с помощью двойных неравенств.

π 7π 5π 19π 5 19 2π ≤ 3 + 2πk ≤ 2 ⇔ 3-≤ 2πk≤ -6- ⇔ 6 ≤k ≤12

Так как $k∈ ℤ$ , то подходит $k= 1$ и $7π x= 3-$ .

2π ≤ − π +2πk≤ 7π ⇔ 7π-≤ 2πk ≤ 23π- ⇔ 7≤ k≤ 23 3 2 3 6 6 12

Так как $k∈ ℤ$ , то подходящих значений $k$ нет.