Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №157

Просмотров 6 Комментарии 0

a) Решите уравнение $sin(2x)+ √2sinx =2cosx+ √2.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[π;5π]. 2$

ОДЗ: $x$ – произвольное.

а) Используя формулу для синуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде:

2sin xcosx +√2-sinx= 2cosx +√2- ⇔ sinx(2cosx+ √2)− (2cosx+ √2)=0 ⇔ √ - ⌊ sinx = 1 ⇔ 2(sinx− 1)(cosx+ --2)=0 ⇔ | √ - 2 ⌈cosx= −--2. 2

Решения уравнения $sinx =1$ имеют вид: $x= π2 +2πk$ , где $k∈ ℤ$ .

Решения уравнения $cosx = a$ имеют вид: $x= ±arccosa+ 2πk$ , где $k∈ ℤ$ , следовательно, решения уравнения $√2- cosx= −-2-$ имеют вид: $x =± 3π+ 2πk 4$ , где $k ∈ℤ$ .

б)

π 5π π 1 π ≤ 2 + 2πk ≤ 2 ⇔ 2 ≤2πk≤ 2π ⇔ 4 ≤k ≤1,

но $k∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k= 1$ : $5π x= 2-$ .

3π- 5π- π 7π 1 7 π ≤ 4 + 2πk ≤ 2 ⇔ 4 ≤2πk≤ 4 ⇔ 8 ≤ k≤ 8,

но $k∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений нет решений, попадающих на отрезок $[ 5π] π;2$ .

π ≤− 3π+ 2πk≤ 5π ⇔ 7π ≤2πk ≤ 13π- ⇔ 7≤ k≤ 13, 4 2 4 4 8 8

но $k∈ ℤ$ , следовательно, среди этих решений подходит только решение при $k= 1$ : $x= 54π$ .

из прошлых лет