Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №156

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение $(1)sin(x+π) 2√3sin(π2−x) 4 = 2 .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 9π-;− 3π . 2$

а) По формулам приведения $sin(x+ π)= − sinx$ и $sin(π− x)= cosx 2$ , следовательно, уравнение перепишется в виде

( ) √ - √- √- 2−2− sinx = 22 3cosx ⇔ 22sinx = 22 3cosx ⇔ 2sinx= 2 3cosx

Заметим, что в полученном уравнении не может быть $cosx= 0$ , так как в этом случае из уравнения будет следовать, что и $sinx= 0$ , а это противоречит основному тригонометрическому тождеству: $sin2x+ cos2x= 1$ . Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $2cosx$ :

√- π tgx= 3 ⇔ x= 3 + πn,n∈ ℤ

б) Отберем корни.

− 9π ≤ π+ πn≤ −3π ⇔ − 29 ≤n ≤− 10 ⇒ n = −4 ⇒ x =− 11π 2 3 6 3 3