Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №152

Просмотров 6 Комментарии 0

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с долгом на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r,$ если известно, что последний платеж будет не менее 0,92 млн. рублей.

Фраза «на начало июля каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем» означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.

Составим таблицу (ведя вычисления в млн. рублей), обозначив величину $r 100 = 0,01r = t:$

|----|--------------------|---------------------|-------------| |Год-|Д-олг до начисления %|Долг после начисления-%|П-латеж-----| |1 | 8 | 8+ t⋅8 | 110-⋅8+ t⋅8 | |----|--------9-----------|-----9-------9-------|-1-------9---| |2---|--------10-⋅8--------|----10 ⋅8+-t⋅10 ⋅8---|-10-⋅8+-t⋅10-⋅8| |... | ... | ... |... | |----|--------1-----------|-----1-------1-------|-1-------1---| -10-----------10-⋅8-------------10 ⋅8+-t⋅10 ⋅8-----10-⋅8+-t⋅10-⋅8-

Таким образом, последний платеж равен $110 ⋅8+ t⋅ 110 ⋅8.$ Следовательно, из условия получаем:

1- -1 3- 10 ⋅8+ t⋅10 ⋅8≥ 0,92 ⇔ t ≥ 20 ⇒ r ≥ 15

Значит, наименьшая процентная ставка равна 15%.