С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 194 получается число 1109134).
а) Приведите пример числа, из которого получается число 411781109.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 210811495?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?
а) Так как 
то первая цифра искомого числа 4, вторая 7: 47…
Так как 
то третья цифра — это 1: 471…Аналогично четвертая, последняя, цифра числа – это 9.
Таким образом, это число 4719.
б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры — это 2 и 8, то есть число 28…
Третья цифра не может быть 1, так как 
также третья цифра не может быть 4, так как 
Также она не может быть равна 9 или 5, так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех- или четырехзначному числу. Следовательно, ответ: нет.
в) Пусть дано трехзначное число 
Тогда из него получится число 
Заметим, что при 
и 
данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.
Пусть 
где 
(так как 
).
Тогда число имеет вид: 
По признаку делимости число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 9. То есть:
Так как 
получаем:
Для того, чтобы число 
было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если возьмем наибольшее возможное 
тогда можно взять наибольшее возможное 
Следовательно, для того, чтобы 
нужно взять 
Таким образом, наибольшее число получится из числа 887 и равно 