Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №142

Просмотров 7 Комментарии 0

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ все ребра равны $5$ . На ребрах $SA$ , $AB$ , $BC$ взяты точки $K, M, N$ соответственно, причем $KA = AM = N C = 2$ .

а) Докажите, что плоскость $KN M$ перпендикулярна ребру $SD$ .

б) Найдите расстояние от вершины $D$ до плоскости $KN M$ .

а) Построим сечение пирамиды плоскостью $KM N$ .
Так как $AM = CN$ и $AB = BC$ , то $M N ∥ AC$ .
Так как плоскость $ASC$ пересекает плоскость $ABC$ по прямой $AC$ и $AC ∥ M N$ ( $M N$ – линия пересечения $ABC$ и $KM N$ ), то плоскость $KM N$ пересечет плоскость $ASC$ по прямой, параллельной $AC$ . Следовательно, проведем $KP ∥ AC$ ( $P ∈ SC$ ).

$PIC$

Пусть $KP ∩ SO = T$ (где $SO$ – высота пирамиды).
Так как $KP ∥ AC$ , то $AK : KS = CP : P S$ по теореме Фалеса, следовательно, $CP = 2 = CN$ .
Пусть $M N ∩ BD = R$ . Тогда пусть прямая $RT$ (которая принадлежит плоскости $KM N$ ) пересечет $SD$ в точке $Q$ . Получили $KM N P Q$ – сечение пирамиды плоскостью $KM N$ .
Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах $SD ⊥ M N$ (действительно, $DO ⊥ AC, AC ∥ M N$ , следовательно, $DO ⊥ M N$ ; значит, наклонная $SD ⊥ M N$ ).
Докажем, что $SD ⊥ RQ$ . Тогда $SD$ будет перпендикулярна двух пересекающимся прямым плоскости $KM N$ , то есть перпендикулярна плоскости $KM N$ .
Так как все ребра равны $5$ , то $√ -- BD = 5 2$ . Следовательно, $△SDB$ – прямоугольный ( $∠BSD = 90∘$ ). По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $OR ⊥ M N$ , то и наклонная $TR ⊥ M N$ . Так как $SB ⊥ M N$ (по той же теореме о трех перпендикулярах), и $TR$ с $SB$ лежат в одной плоскости, то $T R ∥ SB$ . Следовательно, раз $SB ⊥ SD$ , то и $T R ⊥ SD$ , то есть $QR ⊥ SD$ . Чтд.

б) Так как $SD ⊥ (KM N )$ , то $DQ$ – расстояние от точки $D$ до плоскости $KM N$ .
Так как $AM : M B = 2 : 3$ и $M N ∥ AC$ , то по теореме Фалеса $OR : RB = 2 : 3$ . Так как $DO = OB$ , то $DR : RB = 7 : 3$ . Так как $QR ∥ SB$ , то $DQ : QS = 7 : 3$ . Следовательно,

DQ = 7-DS = 7-= 3,5. 10 2