Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №137

Просмотров 5 Комментарии 0

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ , длина диагонали которого равна $3$ . На луче $A1C$ отмечена точка $P$ так, что $A1P = 4$ .
а) Докажите, что многогранник $DBP C1$ – правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка $AP$ .

$PIC$

а) Так как $A1C = 3$ , а $A1P = 4$ , то точка $P$ находится на луче $A1C$ за точкой $C$ .
Правильный тетраэдр – правильная треугольная пирамида, все грани которой – равные треугольники. Следовательно, нужно доказать, что все грани $DBP C1$ – равные равносторонние треугольники, то есть доказать равенство $DB = DP = DC1 = BC1 = BP = PC1$ .
Так как диагональ куба в $√3--$ раз больше ребра куба, то ребро куба равно $√3--$ . Так как $BC 1$ , $BD$ и $DC1$ – диагонали граней куба, то каждая из них в $√-- 2$ раз больше ребра куба, следовательно, $√ -- BC1 = BD = DC1 = 6$ .
Найдем $P C1$ . Рассмотрим плоскость $AA1C1$ . Так как $A1, C$ лежат в этой плоскости, то и вся прямая $A1C$ в ней лежит, следовательно, и точка $P$ .

$PIC$

Найдем $P C1$ по теореме косинусов из $△P C1A1$ .

√ -- ∘ -- ∘ -- 6 2 2 √ -- 2 √ -- cos α = ----= -- ⇒ P C 1 = 6 + 16 − 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ --= 6 ⇒ P C1 = 6. 3 3 3

Найдем $BP$ . Рассмотрим плоскость $A1BCD1$ . Аналогичным образом по теореме косинусов из $△BP A1$ найдем, что $√ -- BP = 6$ :

$PIC$

Аналогично рассмотрим плоскость $A1B1CD$ и найдем $DP$ по теореме косинусов из $△DP A1$ :

$PIC$

$√ -- DP = 6$ .
Таким образом, мы доказали, что $√ -- DB = DP = DC1 = BC1 = BP = P C1 = 6,$ чтд.

б) Рассмотрим плоскость $AA C C 1 1$ :

$PIC$

Найдем $AP$ по теореме косинусов из $△AP A1$ :

-- √ 3 1 √ -- 1 √ --- cosβ = ----= √--- ⇒ AP 2 = 3 + 16 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅√-= 11 ⇒ AP = 11. 3 3 3